现代变分方法是非线性泛函分析的重要分支。本书主要介绍现代变分理论，特别是临界点理论在研究拟线性椭圆型方程解的存在性和多解性方面的应用，书中包含了不少新近发表的结果。 第一章介绍了用经典变分法讨论拟线性椭圆型方程极小解存在，并介绍了Sobolev空间中的Pohozaev恒等式，且用它讨论了解的不存在性的研究。第二章介绍了光滑泛函临界点理论并讨论了可控增长次临界指数拟线性椭圆型方程的多重解，第三章结合集中紧原理讨论了临界指数拟线性椭圆型方程多重解。第四章介绍了非光滑泛函临界点理论，并证明了自然增长拟线性椭圆型方程多重解的存在性。第五章研究了能量泛函为非正规非光滑泛函的一般拟线性Schrödinger方程，通过引进新的变换化为光滑泛函的半线性方程，证明了正解的存在性。
本书可作为数学和应用数学专业研究生教材，可供非线性椭圆型方程、非线性泛函分析、非线性Schrödinger方程方向的数学与物理研究人员参考。
- 介绍了光滑泛函临界点理论并研究了可控增长拟线性椭圆型方程解的存在性。
- 介绍了非光滑泛函临界点理论并研究了自然增长拟线性椭圆型方程解的存在性。
- 研究了一般的拟线性Schrödinger方程正解的存在性。
- 目录
- 前辅文
- 第一章 拟线性椭圆型方程的经典变分方法与恒等式
- 1.1变分学中直接方法与拟线性椭圆型方程的弱解
- 1.1.1泛函极值的必要条件
- 1.1.2泛函的极小问题
- 1.1.3泛函在 Sobolev 空间中的可微性
- 1.1.4泛函的限制极小问题
- 1.2$p$-Laplace 算子的特征值问题
- 1.2.1$p$-Laplace 算子的谱
- 1.2.2附录:不等式
- 1.3Pohozaev 恒等式与拟线性椭圆型方程解的不存在性
- 1.3.1$p$-Laplace 算子的恒等式
- 1.3.2$C^2$和 $W^2,p_1$空间中的恒等式
- 1.3.3无界区域中与有界区域中奇性解的恒等式
- 1.4注记
- 第二章 光滑泛函临界点理论与可控增长拟线性椭圆型方程的多重解
- 2.1Ekeland变分原理
- 2.2形变引理和山路定理
- 2.3二阶拟线性椭圆型方程的多重解
- 2.4非线性边值问题的多重解
- 2.5注记
- 第三章 集中紧原理与 $ mathbbR^N$上临界指数可控增长拟线性椭圆型方程
- 3.1集中列紧原理
- 3.1.1第一集中列紧原理
- 3.1.2第二集中列紧原理
- 3.2含临界指数的椭圆型方程的正解
- 3.3无界域上椭圆型方程的正解
- 3.4关于 (PS)条件
- 3.4.1(PS)条件和全局紧性定理
- 3.4.2全局紧性定理的一个应用
- 3.5注记
- 第四章 非光滑泛函的临界点理论和自然增长的拟线性椭圆型方程的多重解
- 4.1自然增长的拟线性椭圆型方程的极小解问题
- 4.1.1次临界增长方程的极小问题
- 4.1.2次临界增长方程的特征问题
- 4.1.3临界增长方程的限制极小问题 I: 无界区域情况
- 4.1.4临界增长方程的限制极小问题 II: 有界区域情况
- 4.2不光滑泛函的临界点理论
- 4.3自然增长的拟线性椭圆型方程的山路解问题
- 4.3.1次临界增长方程的山路解问题
- 4.3.2临界增长方程的山路解问题
- 4.4注记
- 第五章 非强制和无界泛函的临界点
- 5.1非强制泛函的临界点
- 5.2次临界增长的拟线性 Schr "odinger方程
- 5.3临界增长的拟线性 Schr "odinger方程
- 5.4注记
- 参考文献
