本书介绍了偏微分方程的基本概念，通过生动的物理和工程实例展示了如何从实际问题中抽象出偏微分方程模型，如波动方程、热传导方程、流体力学方程组等；详细介绍了几种经典的解析求解方法，包括分离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法等；并给出了求解三类典型方程的两种主要数值求解方法——有限差分方法和有限元方法，概述了数值方法的基本框架，包括离散化原理、误差估计、收敛性分析等关键概念，每种方法均辅以具体的算例和编程实践，可以帮助读者掌握数值求解偏微分方程的实际操作过程。
本书不仅可以作为数学、力学、物理及相关工程专业高年级本科生和研究生关于偏微分方程理论和数值求解方法的教材，也是一本引导读者深入探索未知领域的指南。
- 目录
- 前辅文
- 第1章 绪论
- 1.1 偏微分方程介绍
- 1.1.1 基本概念
- 1.1.2 几类典型的偏微分方程（组）
- 1.2 叠加原理
- 1.3 二阶线性偏微分方程的分类与化简
- 1.3.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类
- 1.3.2 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简
- 1.3.3 两个自变量二阶常系数方程
- 1.3.4 通解
- 1.4 常微分方程及差分方法
- 1.4.1 一阶常微分方程
- 1.4.2 二阶常系数线性常微分方程
- 1.4.3 二阶常微分方程边值问题解的先验估计
- 1.4.4 一阶常微分方程的数值解法
- 1.4.5 二阶常微分方程边值问题的差分方法
- 1.5 变分法
- 1.5.1 极小位能原理
- 1.5.2 用变分法求解弦平衡变分问题
- 1.5.3 虚功原理
- 1.5.4 应用：两点边值问题及其等价的变分形式
- 1.5.5 Ritz-Galerkin方法
- 1.6 有限元方法
- 第1章练习
- 第2章 椭圆型方程
- 2.1 方程的导出、定解条件
- 2.2 Green公式及其应用
- 2.2.1 基本解、Green公式
- 2.2.2 调和函数的积分表达式
- 2.2.3 调和函数的基本性质I
- 2.3 Green函数及其应用
- 2.3.1 Green函数
- 2.3.2 半空间的Green函数及Dirichlet问题
- 2.3.3 球域的Green函数及Dirichlet问题
- 2.3.4 调和函数的基本性质II
- 2.4 Poisson方程的求解与先验估计
- 2.4.1 试探法
- 2.4.2 Poisson方程的求解
- 2.4.3 Poisson方程解的先验估计
- 2.5 椭圆型方程的数值求解方法
- 2.5.1 五点差分格式
- 2.5.2 差分格式的性质
- 2.5.3 九点紧差分格式
- 2.5.4 边值条件的处理
- 2.5.5 求解椭圆型方程的有限元方法
- 第2章练习
- 第3章 抛物型方程
- 3.1 方程的导出、定解条件
- 3.2 抛物型方程的初边值问题——分离变量法
- 3.2.1 有限长杆的热传导问题
- 3.2.2 非齐次方程——有限长杆的导热问题（有热源）
- 3.2.3 具有非齐次边值条件的问题
- 3.3 抛物型方程的初值问题——积分变换法
- 3.3.1 Fourier积分变换
- 3.3.2 Laplace变换
- 3.3.3 积分变换法应用举例
- 3.4 抛物型方程的数值解法
- 3.4.1 非定常问题差分方法的一般理论
- 3.4.2 一维问题的差分方法
- 3.4.3 高精度算法
- 3.4.4 高维抛物型方程的差分方法
- 3.4.5 热传导方程的有限元方法
- 第3章练习
- 第4章 双曲型方程
- 4.1 波动方程与定解条件
- 4.2 波动方程的Cauchy问题
- 4.3 弦振动方程的初边值问题
- 4.3.1 分离变量法
- 4.3.2 分离变量法的物理意义——驻波法
- 4.3.3 非齐次方程的求解
- 4.3.4 非齐次边值条件问题
- 4.4 双曲型方程古典解的性质
- 4.4.1 振动的动能和位能
- 4.4.2 初边值问题解的唯一性与稳定性
- 4.4.3 Cauchy问题解的唯一性与稳定性
- 4.5 双曲型偏微分方程的数值求解方法
- 4.5.1 一阶双曲型方程的差分方法
- 4.5.2 二阶双曲型方程的显式差分法
- 4.5.3 二阶双曲型方程的隐式差分法
- 4.5.4 二阶双曲型方程的紧差分方法
- 4.5.5 二维双曲型方程的交替方向隐格式
- 4.5.6 双曲型方程的有限元解法
- 第4章练习
- 附录一 场论基础
- 附录二 理想流体力学方程组的推导
- 附录三 Fourier变换简表
- 附录四 Laplace变换简表
- 参考文献
