高等代数

本书是作者融合多年教学成果与一线教学实践经验精心编撰的高等代数教材。全书以基础理论为核心线索，系统地构建了高等代数知识体系，共设十章。第一章从行列式的基础理论入手，为后续内容奠定坚实基础；第二章深入剖析线性方程组的解空间结构，并探讨矩阵的基本性质；第三章系统阐述矩阵运算及其代数特性；第四、五章分别聚焦多项式理论、二次型标准化方法与正定性判定；第六至八章则循序渐进地探讨线性空间、线性映射、若尔当标准形与有理标准形等核心内容；第九章系统解读欧几里得空间的几何结构；第十章则拓展至酉空间。

本书理论推导严谨，知识脉络清晰，兼具教学的实用性与理论的深度，适合作为数学类专业高等代数课程教材，也可为理工科研究生及对高等代数有较高要求的非数学类专业师生提供参考。

目录
- 前辅文
- 第一章行列式
  - §1.1 引言
    - 1.1.1 数域
    - 1.1.2 行列式的引入
  - §1.2 排列与逆序数
    - 1.2.1 排列与逆序
    - 1.2.2 对换及其性质
  - §1.3 n阶行列式的定义
    - 1.3.1 n阶行列式的定义
    - 1.3.2 利用定义计算行列式
  - §1.4 行列式的性质
    - 1.4.1 行列式的性质
    - 1.4.2 行列式按行（列）展开
  - §1.5 拉普拉斯（Laplace）定理
  - §1.6 克拉默法则
  - 习题一
- 第二章线性方程组与矩阵
  - §2.1 消元法解线性方程组
    - 2.1.1 线性方程组的定义
    - 2.1.2 消元法解线性方程组
    - 2.1.3 线性方程组的矩阵表示
    - 2.1.4 线性方程组的矩阵解法
  - §2.2 n元向量的线性关系
    - 2.2.1 n元向量的线性运算
    - 2.2.2 n元向量的线性表示与向量组的等价
    - 2.2.3 n元向量线性相关的定义和性质
    - 2.2.4 向量组的秩
  - §2.3 矩阵的秩
    - 2.3.1 矩阵秩的定义
    - 2.3.2 矩阵的秩与行列式
    - 2.3.3 矩阵的秩与初等变换
  - §2.4 线性方程组解的理论
    - 2.4.1 线性方程组有解的判定
    - 2.4.2 齐次线性方程组解的结构
    - 2.4.3 非齐次线性方程组解的结构
  - 习题二
- 第三章矩阵的运算
  - §3.1 矩阵的基本运算
    - 3.1.1 矩阵的加法和数乘
    - 3.1.2 矩阵的乘法
    - 3.1.3 矩阵的转置
  - §3.2 矩阵的逆
    - 3.2.1 逆矩阵的定义和性质
    - 3.2.2 逆矩阵和伴随矩阵
  - §3.3 初等矩阵
    - 3.3.1 初等矩阵和矩阵的标准形
    - 3.3.2 矩阵的等价和逆矩阵的求法
  - §3.4 分块矩阵
  - 习题三
- 第四章多项式
  - §4.1 多项式的定义与运算
    - 4.1.1 多项式的定义
    - 4.1.2 多项式的运算
  - §4.2 整除与带余除法
  - §4.3 最大公因式
  - §4.4 因式分解
    - 4.4.1 不可约多项式
    - 4.4.2 因式分解定理
    - 4.4.3 重因式
  - §4.5 多项式函数
  - §4.6 复系数多项式与实系数多项式
    - 4.6.1 复系数多项式的因式分解
    - 4.6.2 实系数多项式的因式分解
    - 4.6.3 单位根
  - §4.7 有理系数多项式
    - 4.7.1 本原多项式
    - 4.7.2 有理根定理
    - 4.7.3 艾森斯坦（Eisenstein）判别法
  - §4.8 多元多项式
    - 4.8.1 多元多项式的定义
    - 4.8.2 字典排列法
    - 4.8.3 对称多项式
  - §4.9 结式与判别式
    - 4.9.1 多项式的结式
    - 4.9.2 多项式的判别式
  - 习题四
- 第五章二次型
  - §5.1 二次型与矩阵的合同
    - 5.1.1 二次型的定义
    - 5.1.2 二次型的矩阵表示
    - 5.1.3 矩阵的合同
  - §5.2 二次型的化简
    - 5.2.1 用配方法化二次型为标准形
    - 5.2.2 用合同变换化二次型为标准形
  - §5.3 合同不变量
    - 5.3.1 复二次型的合同不变量
    - 5.3.2 实二次型的合同不变量
  - §5.4 正定二次型与正定矩阵
  - 习题五
- 第六章线性空间
  - §6.1 线性空间的基础知识
    - 6.1.1 线性空间的定义与例子
    - 6.1.2 线性空间的基本性质
  - §6.2 向量之间的线性关系
    - 6.2.1 向量组之间的关系
    - 6.2.2 维数与基
  - §6.3 线性子空间
    - 6.3.1 线性子空间的定义
    - 6.3.2 线性子空间的运算
    - 6.3.3 线性子空间的直和
  - 习题六
- 第七章线性映射
  - §7.1 线性映射的定义及其运算
    - 7.1.1 线性映射与线性同构
    - 7.1.2 线性映射上的代数结构
  - §7.2 线性映射的矩阵表示
    - 7.2.1 一般的线性映射与矩阵
    - 7.2.2 线性变换与矩阵
  - §7.3 线性映射的核与像
  - §7.4 不变子空间
    - 7.4.1 不变子空间的基本性质
    - 7.4.2 循环子空间
  - §7.5 特征值与特征向量
    - 7.5.1 特征值与特征向量的计算
    - 7.5.2 特征多项式
  - §7.6 对角化
  - §7.7 哈密顿–凯莱定理与根子空间分解
    - 7.7.1 极小多项式与哈密顿–凯莱定理
    - 7.7.2 根子空间分解
  - §7.8 商空间
    - 7.8.1 商空间的定义
    - 7.8.2 商空间的基本性质
  - 习题七
- 第八章若尔当（Jordan）标准型
  - §8.1 λ-矩阵
  - §8.2 λ-矩阵的等价标准形
    - 8.2.1 λ-矩阵的初等变换
    - 8.2.2 λ-矩阵的等价标准形
    - 8.2.3 λ-矩阵的秩与行列式因子
  - §8.3 不变因子组
    - 8.3.1 λ-矩阵的不变因子组
    - 8.3.2 数字方阵相似的刻画
  - §8.4 若尔当标准形基本定理
    - 8.4.1 复方阵的初等因子组
    - 8.4.2 若尔当形矩阵的初等因子组
    - 8.4.3 若尔当标准形基本定理的证明及应用
  - §8.5 若尔当标准形基本定理的几何证明
  - §8.6 有理标准形
  - 习题八
- 第九章欧几里得（Euclid）空间
  - §9.1 欧几里得空间的定义
    - 9.1.1 内积的定义
    - 9.1.2 长度和角度的定义
    - 9.1.3 内积的坐标表示
  - §9.2 标准正交基
    - 9.2.1 标准正交基
    - 9.2.2 格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化过程
    - 9.2.3 正交矩阵
  - §9.3 欧几里得空间的同构与子空间
    - 9.3.1 欧几里得空间的同构
    - 9.3.2 子空间的正交
    - 9.3.3 正交投影
    - 9.3.4 最小二乘法
  - §9.4 正交变换
    - 9.4.1 正交变换
    - 9.4.2 正交变换举例
  - §9.5 对称变换
    - 9.5.1 对称变换
    - 9.5.2 实对称矩阵的正交相似对角化
  - §9.6 规范变换
    - 9.6.1 规范变换
    - 9.6.2 规范矩阵的正交相似标准形
  - 习题九
- 第十章酉空间
  - §10.1 酉空间的定义
  - §10.2 酉变换与埃尔米特变换
  - §10.3 复正规变换
  - 习题十
- 部分习题答案与提示
- 附录典型运算的MATLAB实现程序

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