物理学中的群论简明教程

对称性是物理学中一个非常重要的概念，群论则提供了一套系统的数学工具，能够精确描述和分析系统的对称性及其导致的物理效应。经过将近一百年的积累和发展，群论的一些术语和符号已成为物理工作者的通用数学语言，并发挥着重要的作用。对于物理学专业的研究生而言，群论不仅是攻读硕士学位的必修课程之一，也是从事科学研究不可或缺的工具。

全书共分八章，第1、2章分别介绍物理学常用的晶体学点群和空间群，第3、4章分别对群进行抽象化和数学化，第5～8章介绍群的理论在物理学中的具体应用。

这种螺旋上升的安排旨在帮助读者逐步建立群论的认知基础，避免直接面对抽象概念时的困惑。同时，本书在用尽量简单的语言把群论的知识讲解清楚，使之更加贴近自学者与初学者的需求。

本书可作为物理学和材料学专业研究生和高年级本科生的教材，亦可供从事凝聚态物理、材料物理、光学等方向的研究人员作为参考。

目录
- 前辅文
- 绪论
- 第1章晶体学点群
  - §1.1 点对称操作
    - 1.1.1 旋转（正当转动）
    - 1.1.2 中心反演、镜面、旋转反演（非正当转动）
  - §1.2 对称操作的矩阵表示
    - 1.2.1 点对称操作的矩阵表示
    - 1.2.2 对称操作矩阵的行列式和迹
  - §1.3 对称性组合时遵循的关系
  - §1.4 32个晶体学点群
    - 1.4.1 Cn(n)群
    - 1.4.2 Cnh(n/m)群
    - 1.4.3 Cnv(nm)群
    - 1.4.4 Sn(-n)群
    - 1.4.5 Dn(n2)群
    - 1.4.6 Dnh(n/mm)群
    - 1.4.7 Dnd群
    - 1.4.8 立方群
  - §1.5 点群的国际符号
  - §1.6 点群的应用：晶体的张量
    - 1.6.1 介电张量、二阶张量
    - 1.6.2 热释电系数、一阶极矢量
    - 1.6.3 压电和非线性光学系数、三阶张量
    - 1.6.4 手性点群
  - *§1.7 准晶及其点群
  - 习题与思考
- 第2章空间群
  - §2.1 平移群、晶系和布拉维格子
    - 2.1.1 原胞与单胞
    - 2.1.2 晶系
    - 2.1.3 布拉维格子
    - 2.1.4 晶向、晶面和它们的标记
  - §2.2 非点式对称操作
    - 2.2.1 螺旋转动
    - 2.2.2 滑移反射
    - 2.2.3 空间群操作的矩阵表示
  - §2.3 空间群
    - 2.3.1 空间群的命名规则
    - 2.3.2 空间群的同态点群
    - 2.3.3 有关空间群的工具书和网站
  - §2.4 空间群与晶体结构
    - 2.4.1 位群与外科夫位置
    - 2.4.2 晶体结构信息文件
    - 2.4.3 常见晶体的空间群
  - §2.5 层状群与平面群
    - 2.5.1 层状群
    - 2.5.2 平面群
    - 2.5.3 总结
  - 习题与思考
- 第3章群的基本概念
  - §3.1 群的定义
    - 3.1.1 群的定义
    - 3.1.2 群生成元
    - 3.1.3 阿贝尔群
    - 3.1.4 循环群
  - §3.2 群的乘法表
    - 3.2.1 群的乘法表
    - 3.2.2 群的重排定理
    - 3.2.3 几个低阶抽象群的例子
  - §3.3 子群与陪集
    - 3.3.1 子群
    - 3.3.2 陪集
  - §3.4 共轭元与类
    - 3.4.1 共轭和类的定义与性质
    - 3.4.2 点群的类
  - §3.5 正规子群与商群
    - 3.5.1 正规子群
    - 3.5.2 商群
  - §3.6 同构与同态
    - 3.6.1 同构
    - 3.6.2 同态
  - §3.7 直积群
    - 3.7.1 直积群的定义和性质
    - 3.7.2 直积群的类
    - 3.7.3 半直积群
  - 习题与思考
- 第4章群的表示理论
  - §4.1 线性代数的相关知识
    - 4.1.1 矩阵的特征值和特征向量
    - 4.1.2 相似变换
    - 4.1.3 矩阵的迹
    - 4.1.4 矩阵的直和
    - 4.1.5 矩阵的直积
  - §4.2 群的矩阵表示
    - 4.2.1 群的表示的定义
    - 4.2.2 等价表示与幺正表示
    - 4.2.3 表示的直和
    - 4.2.4 可约表示与不可约表示
  - §4.3 舒尔引理与表示矩阵元的正交性定理
    - 4.3.1 舒尔引理
    - 4.3.2 表示矩阵元的广义正交定理
  - §4.4 特征标的性质
    - 4.4.1 特征标的定义和特点
    - 4.4.2 不可约表示特征标的性质
  - §4.5 点群的特征标表
    - 4.5.1 正交法
    - 4.5.2 商群法
    - 4.5.3 同构点群的特征标表
    - 4.5.4 不可约表示的命名规则
  - §4.6 直积群的不可约表示
  - §4.7 不可约表示的基函数和投影算符
    - 4.7.1 极矢量
    - 4.7.2 轴矢量
    - 4.7.3 原子轨道
    - 4.7.4 基函数的性质
    - 4.7.5 投影算符
  - §4.8 表示的直积
    - 4.8.1 直积表示的定义和特点
    - 4.8.2 直积表示的约化
  - 习题与思考
- 第5章群论与量子力学
  - §5.1 哈密顿量算符群与相关定理
    - 5.1.1 函数变换算符
    - 5.1.2 哈密顿算符的变换性质
    - 5.1.3 哈密顿量算符的群
    - 5.1.4 H(r)的本征值、本征函数与群表示
  - §5.2 久期行列式的对角化
    - 5.2.1 久期方程的块对角化原理
    - 5.2.2 对角化久期方程的例子
  - §5.3 晶体场理论：微扰引起的能级劈裂
    - 5.3.1 特征标方法
    - 5.3.2 基函数方法
  - §5.4 分子和固体的简正振动模式
    - 5.4.1 分子的简正振动
    - 5.4.2 固体中的声子模式
  - §5.5 矩阵元定理与选择定则
    - 5.5.1 矩阵元定理
    - 5.5.2 电子能级跃迁的选择定则
    - 5.5.3 红外吸收和拉曼散射的选择定则
  - 习题与思考
- 第6章双群与时间反演对称性
  - §6.1 自旋在对称变换下的性质 SU(2)群
    - 6.1.1 旋转操作
    - 6.1.2 空间反演操作
    - *6.1.3 自旋与SU(2)群
  - §6.2 旋量哈密顿量算符群
  - §6.3 双点群自旋轨道耦合导致的能级劈裂
    - 6.3.1 双群的乘法表
    - 6.3.2 双点群的类
    - 6.3.3 双点群的特征标表
    - 6.3.4 单群态向双群态不可约表示的演化
  - §6.4 时间反演对称性与Kramers定理
    - 6.4.1 时间反演算符
    - 6.4.2 Kramers定理
  - §6.5 复共轭表示与时间反演产生的附加简并
    - 6.5.1 复共轭表示的定义与性质
    - 6.5.2 时间反演对称性与附加简并
  - 习题与思考
- 第7章能带的表示理论
  - §7.1 倒格子和简约布里渊区
    - 7.1.1 倒格子和简约布里渊区的定义
    - 7.1.2 几种简单布拉维格子的布里渊区
  - §7.2 平移群与布洛赫定理
    - 7.2.1 平移群的不可约表示
    - 7.2.2 平移群的表示与布洛赫定理的关系
  - §7.3 波矢群和波矢星
    - 7.3.1 波矢群和波矢星
    - 7.3.2 时间反演不变点
    - 7.3.3 能带对称性和布里渊区的不可约体积
  - §7.4 能带的不可约表示
    - 7.4.1 点式空间群的能带
    - 7.4.2 非点式空间群的能带
  - §7.5 相容性关系
    - 7.5.1 理论背景
    - 7.5.2 处理方法
    - 7.5.3 GaAs能带的相容性关系
  - *§7.6 诱导表示和位群理论
    - 7.6.1 诱导表示
    - 7.6.2 位群理论
  - *§7.7 k·p微扰理论
    - 7.7.1 k·p微扰理论
    - 7.7.2 k·p微扰的矩阵形式
    - 7.7.3 不变量方法推导矩阵元
    - 7.7.4 几个典型材料的有效k·p模型
  - 习题与思考
- 第8章磁群和自旋群
  - §8.1 磁点群和磁空间群
    - 8.1.1 磁点群
    - 8.1.2 磁布拉维格子
    - 8.1.3 磁空间群
    - 8.1.4 常见磁性材料的磁群
  - §8.2 磁群约束的响应张量
    - 8.2.1 反常霍尔效应和磁光效应
    - 8.2.2 二次谐波效应
    - 8.2.3 自旋霍尔效应
  - §8.3 磁群的共表示
    - 8.3.1 共表示的定义和特点
    - 8.3.2 赫林规则
  - §8.4 自旋群
    - 8.4.1 自旋点群
    - 8.4.2 纯自旋点群共线和共面磁构型的自旋群
    - 8.4.3 自旋空间群
    - 8.4.4 利用自旋群解释无自旋轨道效应导致的宏观物理现象
  - 习题与思考
- 附录1 点群的特征标表
- 附录2 双点群的特征标表
- 参考书目

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