本教程是根据上海交通大学为贯彻教育部“基础学科拔尖学生培养计划”以及探索公共基础课程分级教学模式改革中对数学分析课程体系和教学内容提出的要求编写而成的。教程分为上、中、下三册，分别为一元微积分学、多元微积分学和高等微积分学。
本册内容包括度量空间及其性质、度量空间上的映射、一致收敛、含参变量积分、傅里叶级数、赋范空间上的微分学、微分形式与斯托克斯公式等，共需64课时讲授。本册在度量空间的框架下重构微积分理论，有些章节采用了公理化的描述办法，同时配备适当例题以便理解在具象空间中概念与定理的含义。阅读本册会为数学类专业学生学习现代分析学打下更好的基础，建立起与实分析、泛函分析、微分几何等后续课程的桥梁。一些非数学类专业学生阅读本册，会对其数学思维的培养提供很好的帮助。
本教程可作为综合性大学和理工科院校的数学类专业及其他专业拔尖学生培养计划的数学分析教材。
- 目录
- 前辅文
- 导论
- 第十七章 度量空间及其性质
- 17.1 度量空间
- 17.1.1 度量空间的定义
- 17.1.2 度量空间的开集和闭集
- 17.1.3 度量空间的子空间
- 17.1.4 度量空间的直积
- 17.2 实数域
- 17.2.1 序结构
- 17.2.2 域结构
- 17.2.3 实数域
- 17.3 拓扑空间
- 17.4 空间的性质
- 17.4.1 紧集
- 17.4.2 连通集
- 17.4.3 完备性
- 17.4.4 完全集
- 第十八章 度量空间上的映射
- 18.1 度量空间上的序列
- 18.1.1 序列极限的定义和性质
- 18.1.2 部分极限
- 18.1.3 上、下极限
- 18.2 映射的极限与连续性
- 18.3 连续映射的性质
- 18.3.1 连续性与紧性
- 18.3.2 连续性与连通性
- 18.3.3 间断
- 18.4 不动点定理
- 18.4.1 布劳威尔不动点定理
- 18.4.2 压缩映像原理
- 第十九章 一致收敛
- 19.1 一致收敛
- 19.2 一致收敛的性质
- 19.3 度量空间上的函数列与一致收敛性
- 19.4 等度连续与列紧性
- 19.5 多项式的一致逼近
- 第二十章 含参变量积分（续）
- 20.1 欧拉积分
- 20.2 卷积及其应用
- 20.3 广义函数简介
- 20.3.1 试验函数空间与广义函数定义
- 20.3.2 广义函数运算
- 20.3.3 基本解
- 第二十一章 傅里叶级数
- 21.1 一般傅里叶级数
- 21.2 傅里叶三角级数
- 21.3 傅里叶级数的性质
- 21.4 傅里叶变换简介
- 21.4.1 傅里叶变换的定义
- 21.4.2 傅里叶变换的性质
- 第二十二章 线性赋范空间上的微分学
- 22.1 一元微分学简单回顾
- 22.2 线性赋范空间与线性变换
- 22.3 微分法
- 22.4 有限增量公式
- 22.5 泰勒公式及极值问题
- 22.5.1 多重线性算子及其性质
- 22.5.2 高阶导映射与泰勒公式
- 22.5.3 泛函的极值问题——变分法简介
- 22.6 隐函数定理
- 第二十三章 微分形式与斯托克斯公式
- 23.1 线性代数的准备知识
- 23.2 微分流形简介
- 23.2.1 微分流形的定义
- 23.2.2 光滑映射与单位分解定理
- 23.2.3 可定向微分流形与光滑带边流形
- 23.2.4 切空间和余切空间
- 23.3 流形上的微分形式
- 23.4 外微分算子
- 23.5 微分形式的积分与斯托克斯公式
- 参考文献
- 索引
