实分析（或实变函数）上承数学分析的经典微积分理论，又为后续泛函分析、调和分析、偏微分方程、微分几何、概率论、动力系统等相关学科提供基本语言和理论基础，是数学类专业及相关专业中一门承上启下的重要基础课。本书以Riemann积分的深化与推广为主线，介绍在理论上既高度统一又简洁实用的Lebesgue积分。本书一方面简明深刻地讲授了Lebesgue测度论、Lebesgue积分论与微分论等基础理论，并着重强调了其与Riemann积分的异同。另一方面，深入细致地介绍了Lebesgue积分的重要应用：Lp空间、卷积与磨光、Fourier变换等现代分析学中最常用的技术和工具。全书主题明确，脉络清晰，行文简洁，论述严谨，各章节尽可能从问题出发，并交代清楚其来龙去脉。书中紧扣正文精心配置了200多道习题供读者训练。
本书可作为高等学校数学类、统计学类及相关专业“实分析”或“实变函数”课程的教材和参考书，也可供具有一定数学基础的读者自学。
- 目录
- 前辅文
- 绪论
- 第1章 预备知识
- §1.1 集合论简介
- §1.2 Rn中拓扑简介
- 第1章习题
- 第2章 可测集与测度
- §2.1 Lebesgue外测度
- §2.2 Lebesgue可测集与Lebesgue测度
- §2.3 Lebesgue可测集的结构
- §2.4 测度空间简介
- 第2章习题
- 第3章 可测函数
- §3.1 可测函数的定义及性质
- §3.2 可测函数的结构——两个逼近定理
- 3.2.1 用简单函数点点逼近可测函数
- 3.2.2 用连续函数几乎处处点点逼近可测函数
- §3.3 可测函数列的收敛性
- 第3章习题
- 第4章 Lebesgue积分
- §4.1 非负简单函数的Lebesgue积分
- §4.2 非负可测函数的Lebesgue积分
- §4.3 一般可测函数的Lebesgue积分
- §4.4 Lebesgue控制收敛定理
- 4.4.1 Lebesgue控制收敛定理
- 4.4.2 Lebesgue控制收敛定理的应用
- §4.5 Fubini-Tonelli定理
- §4.6 Lebesgue积分与Riemann积分
- 4.6.1 常义Riemann积分
- 4.6.2 反常Riemann积分
- 第4章习题
- 第5章 微分论
- §5.1 Lebesgue微分定理
- §5.2 单调函数
- §5.3 有界变差函数
- §5.4 绝对连续函数与Newton-Leibniz公式
- 第5章习题
- 第6章 Lp空间
- §6.1 Lp的定义与常用不等式
- §6.2 Lp的完备性与稠密性
- §6.3 Hilbert空间L2
- §6.4 Lp范数的对偶表示与广义Minkowski不等式
- §6.5 卷积与磨光
- §6.6 Lp(Rn)上的Fourier变换
- 6.6.1 L1(Rn)上的Fourier变换L1(Rn)
- 6.6.2 L2(Rn)上的Fourier变换L2(Rn)
- 6.6.3 Lp(Rn)上的Fourier变换Lp(Rn)
- 第6章习题
- 附录1 各类收敛性关系图
- 附录2 函数空间关系图
- 参考文献
