本书紧密结合物理教学实际,着力揭示数学概念和方法的物理背景,注意介绍必要的理论,阐述简明、条理清晰。例题和习题切合物理类专业学生的特点和需要,突出解题方法。书中将复变函数和数学物理方程的基础知识作为教学的基本内容,一些扩展的或较深的知识（包括张量）作为选学内容。
本书重视数学科学精神和思想方法的熏陶,注意学习方法的提示或示范。书中的16个阅读材料,简要介绍了13位著名数学家以及复变函数理论和数学物理方程的创立过程。此外还链接了25个电子文件,包括供读者参考的习题和复习思考题的题解与提示,以及供选读的补充材料，读者可以登录相应的数字课程网站阅览。
本书可供物理类专业本科教学使用,也可作为电子工程、信息与计算科学等专业的教材,以及数学与应用数学专业的教学参考书。
- 目录
- 前辅文
- 第一篇 复变函数论
- 第一章 解析函数
- §1.1 复数及其运算
- 一、 基本概念,
- 二、 运算公式,
- 三、 扩充复平面与复球面
- §1.2 复变函数
- §1.3 解析函数
- 一、 导数,
- 二、 解析函数的定义,
- 三、 函数解析的条件,
- 四、 在极坐标系下的CR条件,
- 五、解析函数与调和函数的关系,
- 六、 已知实部或虚部求解析函数,
- 七、 解析函数实部和虚部的几何意义
- §1.4 初等解析函数
- §1.5 多值函数的支点与黎曼面
- §1.6 平面场的复势
- 阅读材料1 身残志坚最多产的伟大数学家——欧拉
- 第二章 解析函数的积分
- §2.1 复积分的概念与性质
- §2.2 柯西积分定理
- §2.3 柯西积分公式
- 阅读材料2 数学分析的奠基人——柯西
- 阅读材料3 思想最深刻的数学家之一——黎曼
- 第三章 解析函数的级数展开
- §3.1 复数项级数的基本性质
- 一、 复数项级数,
- 二、 复函数项级数,
- 三、 幂级数
- §3.2 泰勒展开
- §3.3 唯一性定理和解析开拓
- 一、 解析函数的零点和唯一性定理,
- 二、 解析开拓,
- 三、 Γ函数
- §3.4 洛朗展开
- §3.5 孤立奇点
- 一、 单值函数孤立奇点的分类及判定,
- 二、 函数在无穷远点邻域内的性质,
- 三、 整函数和亚纯函数的概念
- 阅读材料4 “现代分析之父”——魏尔斯特拉斯
- 第四章 留数定理及其应用
- §4.1 留数定理
- 一、 留数的定义,
- 二、 留数定理,
- 三、 留数的计算,
- 四、 无穷远点处的留数
- §4.2 应用留数定理计算定积分
- 一、∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ类型积分的计算,
- 二、∫baf(x)dx类型积分的计算,
- 三、 物理学中用到的几个定积分的计算
- 阅读材料5 复变函数论的创立
- 第五章 常微分方程的级数解和特殊函数
- §5.1 常点邻域方程的级数解 勒让德多项式和埃尔米特多项式
- 一、 常点邻域方程的幂级数解,
- 二、 勒让德多项式,
- 三、 Pl(x)的微分表达式——罗德里格斯（Rodrigues）公式,
- 四、 Pl(x)的积分表达式——施勒夫利(Schlfli)积分,
- 五、 勒让德多项式的一些性质,
- 六、 埃尔米特多项式
- §5.2 正则奇点邻域方程的级数解 贝塞尔函数和诺伊曼函数
- 一、 正则奇点,
- 二、 广义幂级数解,
- 三、 贝塞尔函数,
- 四、 贝塞尔函数的一些性质,
- 五、 虚宗量贝塞尔函数,
- 六、 高斯方程和库默尔（Kummer）方程
- 阅读材料6 终身勤奋的“数学王子”——高斯
- 第二篇 数学物理方程
- 第六章 几个典型方程的定解问题
- §6.1 几个典型方程的导出
- 一、 弦振动方程,
- 二、 热传导方程,
- 三、 位势方程,
- 四、 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类
- §6.2 定解条件和定解问题
- 一、 初始条件,
- 二、 边界条件,
- 三、 定解问题与适定性概念
- 第七章 波动方程的初值问题
- §7.1 行波法和达朗贝尔公式
- 一、 一维波动方程初值问题,
- 二、 行波,
- 三、 延拓法
- 阅读材料7 数理方程的开拓者——达朗贝尔
- §7.2 球面平均法和泊松公式
- 一、 三维波动方程初值问题, 泊松公式,
- 二、 降维法, 二维泊松公式
- §7.3 叠加原理,齐次化原理与有源空间波
- 一、 叠加原理,
- 二、 一维有源波动,
- 三、 齐次化原理,
- 四、 推迟势,
- 五、 几点说明
- 阅读材料8 杰出的数学物理学家——泊松
- 第八章 分离变量法
- §8.1 傅里叶级数
- 一、 正交函数系,
- 二、 傅里叶级数,
- 三、 傅里叶正弦级数和余弦级数,
- 四、 复数形式的傅里叶级数,
- 五、 有限区间上函数的傅里叶展开
- §8.2 分离变量法的解题步骤
- 一、 求解步骤,
- 二、 几点说明,
- 三、 一般混合问题的简化
- §8.3 分离变量法的应用
- 一、 波动方程和热传导方程的混合问题,
- 二、 位势方程的边值问题
- §8.4 齐次化原理
- §8.5 按本征函数系展开法
- §8.6 分离变量法的理论基础
- 一、 斯图姆刘维尔型方程,
- 二、 斯图姆刘维尔本征值问题,
- 三、 奇异情形,
- 四、 勒让德多项式的正交归一关系
- 阅读材料9 数学物理研究新天地的开辟者——傅里叶
- 第九章 球坐标系下的变量分离 球函数
- §9.1 球坐标系下亥姆霍兹方程的变量分离
- 一、 亥姆霍兹方程,
- 二、 在球坐标系下将Δv+k2v=0分离变量,
- 三、 小结
- §9.2 球函数
- §9.3 勒让德多项式的母函数和递推公式
- 一、 勒让德多项式的母函数,
- 二、 勒让德多项式的递推公式
- 阅读材料10 法国数学界的“三L”之一 ——勒让德
- 第十章 柱坐标系下的变量分离 柱函数
- §10.1 柱坐标系下的变量分离
- 一、 在柱坐标系下将Δv+k2v=0分离变量,
- 二、 小结,
- 三、 几点说明
- §10.2 柱函数
- 一、 柱函数与递推关系,
- 二、 柱函数与贝塞尔方程的关系,
- 三、 贝塞尔方程的本征值问题,
- 四、 渐近公式
- 阅读材料11 卓越的天文学家和数学家——贝塞尔
- 第十一章 格林函数法
- §11.1 δ函数
- §11.2 格林函数
- 一、 无界区域的格林函数,基本解,
- 二、 泊松方程边值问题的格林函数,
- 三、 用电像法求格林函数,
- 四、 格林函数的对称性,
- 五、 用展开法求格林函数
- §11.3 泊松方程边值问题解的积分公式
- 一、 格林公式,
- 二、 泊松方程及调和函数的基本积分公式,
- 三、 泊松方程第一边值问题解的积分公式
- 阅读材料12 磨坊工出身的数学家——格林
- 第十二章 积分变换法
- §12.1 积分变换简介
- §12.2 傅里叶变换
- 一、 傅里叶积分与傅里叶变换,
- 二、 傅里叶变换的基本性质,
- 三、 δ函数的傅里叶变换和傅里叶积分,
- 四、 应用举例
- §12.3 拉普拉斯变换
- 一、 拉普拉斯变换的定义及存在定理,
- 二、 拉普拉斯变换的性质,
- 三、 梅林反演公式,
- 四、 展开定理,
- 五、 应用举例
- 阅读材料13 “法国的牛顿”——拉普拉斯
- 阅读材料14 第二篇数学物理方程小结
- 阅读材料15 数学物理方程的兴起与发展
- 第三篇 选学内容
- 第十三章 保角映射初步
- 一、 解析函数的保角性,
- 二、 分式线性函数的映射性质,
- 三、 幂函数和根式函数决定的映射,
- 四、 指数函数和对数函数决定的映射,
- 五、 利用保角映射求解二维稳定场问题
- 第十四章 变分法入门
- 一、 泛函的变分与泛函的极值,
- 二、 不动边界的泛函的极值,欧拉方程,
- 三、 泛函的条件极值问题
- 阅读材料16 变分法、分析力学的奠基人——拉格朗日
- 第十五章 张量简介
- 部分习题答案与提示
- 主要参考书
- 索引
