本书是为高等院校信息与计算科学专业本科教学而编写的数值优化课程教材，主要内容为最优化问题的基本理论和数值算法。全书共分为五章，前三章介绍非线性光滑最优化问题，后两章介绍微分方程中的控制优化问题。本书内容力求简明易懂，强调基础；结构安排上由浅入深，循序渐进；配置精选例题和习题，便于教学与自学。
本书可作为高等院校计算数学、应用数学、运筹学与控制论等理工科相关专业的数值优化教材或教学参考书，也可供科学与工程计算等专业领域的科研人员参考。
- 目录
- 前辅文
- 第1章 最优化基础
- 1.1 最优化问题及其分类
- 1.2 预备知识
- 1.2.1 常用的数学符号
- 1.2.2 分析部分
- 1.2.3 代数部分
- 1.3 凸集、凸函数、凸优化问题
- 1.3.1 凸集
- 1.3.2 凸函数
- 1.3.3 凸函数与凸集之间的关系
- 1.3.4 凸优化问题
- 1.4 极小点的分类及存在性
- 1.5 优化算法的基本概念
- 习题
- 第2章 无约束优化问题
- 2.1 无约束可微问题的最优性理论
- 2.2 线搜索算法
- 2.3 梯度下降法
- 2.3.1 步长选择
- 2.3.2 梯度Lipschitz连续的相关结果
- 2.3.3 梯度下降法在凸函数条件下的收敛性
- 2.3.4 梯度下降法在强凸条件下的收敛性
- 2.4 经典Newton法
- 2.4.1 Newton法的迭代格式
- 2.4.2 Newton法的收敛性
- 2.5 拟Newton法
- 2.5.1 拟Newton法的迭代格式
- 2.5.2 拟Newton矩阵需要满足的条件
- 2.5.3 拟Newton矩阵的秩一更新公式
- 2.5.4 拟Newton矩阵的秩二更新公式
- 2.5.5 BFGS型拟Newton法的收敛性
- 习题
- 第3章 约束优化问题
- 3.1 对偶理论
- 3.2 约束优化问题的最优性条件
- 3.2.1 几何最优性条件
- 3.2.2 一阶最优性条件
- 3.2.3 二阶最优性条件
- 3.3 二次罚函数法
- 3.3.1 二次罚函数法的算法流程
- 3.3.2 二次罚函数法的收敛性分析
- 3.4 增广Lagrange函数法
- 3.4.1 增广Lagrange函数法的算法流程
- 3.4.2 增广Lagrange函数法的收敛性
- 习题
- 第4章 常微分方程控制优化问题
- 4.1 常微分方程控制优化模型
- 4.2 函数的最小化
- 4.3 最优控制的存在性
- 4.4 求解控制优化问题的数值方法
- 4.5 数值算例
- 习题
- 第5章 偏微分方程约束优化问题
- 5.1 引言
- 5.2 线性椭圆型PDE约束优化问题
- 5.2.1 分布控制问题
- 5.2.2 边界控制问题
- 5.2.3 一般性最优控制问题
- 5.3 状态方程的适定性
- 5.3.1 Dirichlet边值问题的适定性
- 5.3.2 Robin边值问题的适定性
- 5.3.3 一般边值问题的适定性
- 5.4 最优控制的存在唯一性
- 5.4.1 最优分布控制的存在唯一性
- 5.4.2 最优边界控制的存在唯一性
- 5.4.3 一般控制问题解的存在唯一性
- 5.5 一阶最优性条件
- 5.5.1 分布控制问题的KKT系统
- 5.5.2 边界控制问题的KKT系统
- 5.5.3 一般控制问题的KKT系统
- 5.6 数值方法
- 5.6.1 先优化后离散
- 5.6.2 先离散后优化
- 5.6.3 数值算例
- *5.6.4 PDAS算法和半光滑Newton法的等价性
- 习题
- 参考文献
